Coefficiente di correlazione

Per il teorema di Talete

=⇨ cos α =

se x appartiene ad una base ortogonale di

ℜ ⁿ, allora y può essere espresso come combinazione lineare di tale base (mediante i coefficienti t_i)

y = t₁·x₁ + ... + t·x + ... + t_n· x_n

e, premoltiplicando per x (ricordando che ) risulta

x'y = t ·x'x ⇨ t =

Sostituendo t nell'espressione che definisce cos α, otteniamo

cos α =

Se x e y sono i vettori degli scarti dalle rispettive medie, cos α è il coefficiente di correlazione e t il coefficiente angolare. Il vettore y_x è detto proiezione di y su x. Inoltre, possiamo calcolare il coefficiente di determinazione (meglio noto come R─quadro e indicato con R²):

R² == = = (cos α)²

Quindi, l'R² è il quadrato del coefficiente di correlazione ed è uguale al rapporto tra la devianza di y_x e la devianza di y.

Domenico Suppa, 25/05/2008